作者/曹盛威

故事的真偽

阿基米德的王冠故事出於古羅馬建築師兼作家維特魯威所著的建築學教科書-《建築十書》第九冊的開場白,原版故事如下:

希羅王向不朽的神靈發誓,如果能成功奪取敘拉古城的政權,就會在城內的寺廟中獻上一頂純金的王冠,後來希羅王在政變中無往不利,順利取得了敘拉古城的政權。

取得政權後,希羅王決定履行誓言,他先是用固定價格,向承包商徵收大量黃金,並在極短的時間內,承包商製作出了一頂精美的王冠,這頂王冠的重量與當初徵收的黃金相當。

後來,有人向希羅王指控王冠的黃金已被抽出,在承包商製作王冠的時候參入了白銀。希羅王認為自己被騙,但他沒有證據,這讓他非常生氣,並找來阿基米德幫忙。阿基米德不斷思考要怎麼找到證據,這時他碰巧去澡堂洗澡,進入浴缸後他發現,當身體不斷沉入浴缸,浴缸的水就上升越多。阿基米德發現這個現象能解釋案件,他沒有片刻遲疑跳出浴缸,全身赤裸地在街上奔跑,他喜極而泣地邊跑邊用希臘語反覆叫喊:「尤里卡!尤里卡!」

據說,阿基米德製造了兩頂相同重量的王冠,一頂是純金作的,另一頂是純銀作的。製作完成後,他將一塊與純銀王冠等重的銀放入裝滿的水箱中,水流出來,接著拿出銀塊紀錄水位,並再次將水箱裝滿,將銀王冠放入水箱,水流出後取出王冠,阿基米德發現等重的銀對應於固定的水量。

之後,他用同樣的方法將金塊放入水箱中,並按照之前的方法測量。他發現等重的金塊與純金王冠的水量也是固定的,但純金流出的水量比純銀來得少,即同樣重量的純銀與純金相比,純金的體積是比較小的。之後他用這個方法將希羅王的王冠拿去測定,發現到王冠比等重純金流出的水來得多。阿基米德透過這個方法檢測王冠是金與銀的合金,證明了承包商的確有偷走黃金。

《建築十書》是古羅馬唯一的「工程學百科全書」,許多中世紀的學者或發明家都必定讀過這本書,也因為《建築十書》名氣響亮,讓王冠故事得以被傳承下來,至今仍被大眾傳唱。

在原版故事中,並沒有提及阿基米德運用浮力解決問題,跟我們現在聽到的運用浮力找到假王冠的情節有些出入,是有人竄改過故事嗎?其實在阿基米德的著作中,並未記載王冠問題與裸奔,這讓一些認真較勁的人開始考證原版故事的真實性並展開二次創作。

浪費才能的伽利略

伽利略的論文《平衡》(La Bilancetta)是一篇批判阿基米德王冠故事真實性的論文,這可能是歷史上第一篇把才華浪費在完全沒必要地方的論文。

伽利略認為王冠故事是有瑕疵的,先是質疑在故事中的阿基米德完全沒有得到可靠的數據,也沒以數學推論,完全不像是一位熱愛數學比生命還重要的人會作的事情,伽利略寫到:

「在我讀完了阿基米德的手稿後,我發現可以運用阿基米德的發明,用一種更嚴謹,更精確的方式,來說明阿基米德如何測量密度與測量浮力。」

所以,伽利略重新說了一個故事,前半段的故事差不多,但後半段被伽利略加入阿基米德已知槓桿原理的情況下,改寫為:

據說,阿基米德製造了兩頂相同重量的王冠,一頂是純金作的,另一頂是純銀作的。製作完成後,他設計了一個可以變動支點天平,他將銀冠與等重的銀塊放在天秤上平衡,這時支點會在正中間。

接著,他將王冠的一端完全放進水裡,發現天平朝銀塊那端傾斜,阿基米德調整支點,使得泡在水中的銀冠與銀塊取得平衡,這時候,阿基米德發現,泡在水中的銀冠變輕了。

之後,他用同樣的方法將金塊與金冠放在天平上,並按照之前的方法測量。他發現泡在水中的金冠也變輕了,但在調整支點的階段,阿基米德發現金冠調整的支點距離,比銀冠調整的支點距離來得少,透過槓桿原理,阿基米德發現金冠變輕的程度,比起銀冠來得少。

阿基米德持續使用這種方式來尋找王冠中金與銀的混合比例,他將希羅王的王冠與一塊等重的純金放在天平上,並將希羅王的王冠放入水中,並調整支點距離使得王冠與純金是平衡的,這時阿基米德發現,希羅王的王冠所移動的支點距離,比起金冠實驗中來得大。計算希羅王的王冠與金冠在實驗中的支點的差距後,他得到了希羅王的王冠中參有多少銀,阿幾米德不只證明了承包商的確有偷走黃金,還證明了承包商偷走了多少黃金。

伽利略的二次創作,與我們現在所熟知的王冠故事較為接近,更重要的是,伽利略是基於「阿基米德的手稿」所創作,因此我們可以確定,阿基米德的確有做過關於浮力研究的紀錄,而這些紀錄就在他的《論浮體》(On Floating Bodies)。

阿基米德的手稿-水有支撐力

阿基米德撰寫的《論浮體》是一切的開端。在手稿的開頭,阿基米德不斷強調「水是有支撐力的」。

在溪谷中,能看到水往低處流動,也能看到水流動時被石頭或其他固體擋住去入,阿基米德認為這兩個現象,代表水具有「往下流動」的特性,而這個特性能被「固體擋住」。

接著,阿基米德觀察一杯裝滿水的杯子,發現杯子中的水是靜止的,這讓他覺得十分不可思議。

「杯子是固體,能擋住水不會流出來很正常,但也就只有跟杯子接觸那一層的水會被擋住,不跟杯子接觸的水應該還是要持續往下流動才對。」

對阿基米德來說,杯子只是擋住整杯水的最外層,維持水的形狀。在杯子中間的水沒有被任何固體擋住,位於杯子上方的水應該會持續往下流動,並把下面的水擠上來形成對流。

不過,阿基米德卻看到杯子裡的水不會往下流動,這表示有什麼東西擋住水。但杯子裡除了水,也沒有其他東西,所以阿基米德認為,水本身也能阻擋自己向下流動,也就是水能支撐自己。

為了證明水是有支撐力的,阿基米德又觀察桌面上的水滴,發現這些水滴是有高度的,而水滴的上層,完全是依靠下方的水來支撐。

浮力是水中空洞的支撐力

阿基米德確認「水有支撐力」後,開始思考水的支撐力到底有多大,有什麼特性,阿基米德用下面這張圖來協助自己思考。

圖上的半圓是桌面上的水滴,類似梯形的STUV是水滴中的一塊水,我們稱這塊水叫做「小紅」。

阿基米德的想法是,把小紅取出測量小紅的重量,就能知道小紅在水中受到多少支撐力。在測量完小紅的重量後,阿基米德製作了一個重量大小與小紅相同的固體丟進水裡,結果這塊固體剛好浮在水面上。

「任何東西只要跟小紅大小重量一樣,就能被水撐起來。」阿基米德這麼總結到。

接著,他又做了另一個固體,這個固體就是上圖中的EFHG,我們後面稱這塊固體叫做「小藍」。

小藍跟小紅一樣重,但是小藍比小紅還要大。阿基米德把小藍丟進水裡,發現小藍會浮起來,只有一部分會泡進水裡,而小藍泡在水裡面的大小,跟小紅是一樣大的。(圖中STUV與BCHG是全等的)

小藍與小紅的重量是一樣的,雖然大小不同,但他們泡在水裡面的大小是一樣的,阿基米德想:「支撐力會不會跟物體泡在水中的大小有關?」

阿基米德用手把小藍押進水裡,當他把手放開時,小藍又立刻浮出水面,水面下的大小又回復成跟小紅一樣大。這表示小藍泡在水中的部份越多會造成更大的支撐力,而這個支撐力肯定比小藍的重量還要大,不然不會往上浮!可是,為什麼泡在水裡面的大小,會跟支撐力有關呢?他說:

「如果把小紅取走時水不會流動,取走後就就會留下一個『空洞』,這個空洞能剛好支撐小紅的重量,體積也跟小紅是一樣的。

當我把小藍丟進這個空洞,由於小藍跟小紅一樣重,因此只要這個空洞就能撐起來,而剩下來的部分就會浮在水面上。

當我把小藍往下壓的時候,就破壞了原本的空洞,讓空洞變得更大,變大的空洞能撐起更重的東西,但是小藍的重量並沒有增加,因此支撐力會把小藍往上推,讓空洞回復到原始小紅的形狀。」

阿基米德的想法是,把物體放進水裡,會把原本在那個位置的水擠開,形成一個空洞,而這個空洞只能支撐同樣形狀大小的水的重量,也就是被擠開的水的重量。

如果物體的重量跟空洞能支撐的重量一樣,物體就會停止不動;如果比空洞能承受的重量還要輕,水就會把物體往上抬起;如果比空洞能承受的重量還要重,就會沉下去。

雖然阿基米德的結論是「浮力就是排開的水的重量」,但「物體放入水中所造成的空洞,只能撐起跟這個空洞一樣大小的水」才是阿基米德對浮力的真正理解,而浮力公式「液體密度x排開體積」,事實上就是在計算水中的空洞到底能撐起多少重量的水。

參考文獻:

阿基米德浮體原理 - 維基百科,自由的百科全書

De architectura - Wikipedia

LacusCurtius • Vitruvius on Architecture — Book IX

La bilancetta - Wikisource

On Floating Bodies - Wikipedia

The works of Archimedes - On Floating Bodies